南京理工大学 研究生 近代光学检测 试题解析
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1. 简述处理空间载频干涉条纹的FFT 法原理，说明其主要步骤，并
给出相应的公式推导。
答：带有载频的干涉图的光强表达式为：
)],(22cos[),(),(),(y x y f x f y x b y x a y x i y x φππ-++=
其中，x f ，y f 是干涉条纹在Ｘ和Ｙ方向的中心载频。),(y x φ是干涉图包含的相位信息。处理步骤如下：
ａ）对干涉图进行傅里叶变换
)]
(2exp[),()](2exp[),(),(),(y f x f j y x c y f x f j y x c y x a y x i y x y x +-+++=*ππ其中)ex p (2
1
),(φj b y x c =
。 ｂ）为了祛除干涉条纹对边缘检测的影响，我们选取合适的滤波器，取出干涉分布正一级谱或负一级谱，并将其平移到坐标原点，对应的物理过程是滤波、消倾斜。公式变化后为：
）
（）（2121,,I f f C f f = c ）进行逆傅立叶变换，结果为
[]),(exp ),(2
1
),(y x j y x b y x C φ=
d ）包裹的相位为：
[][]
),(Re ),(Im ,1
y x c al y x c age tg y x -=）（φ
e ）将包裹相位）（y x ,φ展开，得到波面的相位信息。
2. 以马赫－曾德尔干涉仪为例，说明移相干涉术的原理。当以PZT
移相或旋转平板移相时，如果移相步长为π/2，分别推导移相器的直线位移步长量或角度位移步长量。
3. 如图所示，波长为λ的准直激
光束入射到泰曼干涉仪中。在干涉仪的测试臂中放入一块
https://img.doczj.com/img6d/039xfvrekh2srva05pvk-22.webp
平行平板玻璃，其厚度为d ，折射率为n 。将平板如图所示转动，平板法线与入射光线的夹角为θ。干涉图为等间隔的平行直条纹，由摄像机接收。试问：
（1） 平板摆动过程中，干涉条纹将如何变化？ （2） 推导干涉图中光程差的表达式。
（3） 连续采集干涉图中的某一点光强数据，采用干涉条纹计数的方法测量平
板玻璃的微小摆动角。试问如何选择θ角可以得到较高的测量精度？请根据公式推导加以说明。
4. 简述刀口仪工作原理。第三题图为刀口阴影法检测球面面形的示
意图。设刀口始终沿图中箭头所示方向移动，
（1）当刀口分别在A 、B 、C 三个位置移动时，试分别给出刀口阴影图。
（2）如果得到的刀口阴影图如左下图所示，请问该图是在那个位置得到的？试件中央的面形相对于整个试件的表面，是凹下去还是凸起来？
5. 试描述用刀口阴影法检测像散波面。当刀口沿光轴方向移动时，
像散波面的刀口阴影图将如何变化？
答：（a ）如果沿1X 轴放置刀口（方向与1Y 轴平行，即01=φ°），则阴影图的边界为与Y 轴平行的直线，即
)
(2D C R r
x +-=
当刀口沿光轴移动时，直线平行于Y 轴移动。
（b ）如果沿1Y 轴放置刀口（方向与1X 轴平行，即901=φ°），则阴影图的边界为与X 轴平行的直线，即
)
3(2D C R r
y +-=
当刀口沿光轴移动时，直线平行于X 轴移动
（c ）如果刀口是以任意角度放置，阴影图的边界为与一条具有斜率ψ的直线，即
1tan 3tan φψD
C D
C ++=
当刀口沿光轴移动时，直线旋转。
6. 波像差可以用下列赛得多项式表示：
m
n l m j k with x W x W x W x W W W x W x W x W
x W n
m j m l k klm +=+=+++++++==
∑2,2cos cos cos cos ),,(3031122022022202223013140402
02001112
0200,,0
0θ
ρρθρρρρθρθ
ρθρ 试说明式中各项的意义。并通过各波像差表达式推导像面光斑
分布。
7. 对于球差，试证明最小弥散圆位于近轴像点距边缘像点3/4 处。
并证明最小弥散圆直径等于RW 040/h ，其中R 为出瞳中心到像面中心的距离、W 040为球差系数、h 为出瞳半径。
证明：轴向离焦z ε后，球差的波像差表达式为： 22
2
4
0402ρερR h W W z +=? （1）
则球差的垂轴像差表达式为：
ρερεεR
h h RW z y x 2
30404--== （2） ①对于边缘光线：1=ρ
边缘光线与光轴的交点离高斯像面的距离可以用zrin ε来表示，则有：
图 1 第三题图
0==y x εε
即 042
3040=--ρερR
h h RW zrin （3） 解得 2
040
4h
RW zrin -
=ε （4） ②对于某孔径光线
在最小弥散斑处,此孔径光线和边缘光线的垂轴像差大小相等，符号相反，则有： R h
h RW R h h RW z z ερερ+=--
040304044 （5） 整理等式（4），有：
0)1(42040=++-R
h
h RW z ερρ （6） 想要等式（5）有且有一个解，则有：
044440400402
040=??? ??+??-???
??=?R h h
RW h RW h RW z ε （7）
解方程（6），可以得到最小弥散斑的位置z ε：
2
040
23h
W R z -=ε （8） 对比等式（4）和（8），有： zrin z εε4
3
=
（9）
即证明了最小弥散圆位于近轴像点距边缘像点4/3处。
最小弥散圆的直径也就是y ε2，把求解得到的z ε代入等式（2），取1=ρ有：
h
RW R h h W R h RW y 040
2040204034-=+-=ε （10） 即证明了最小弥散圆的半径为h
RW 040
-
。 把求解得到的z ε代入等式（6），可以得到最小弥散圆处与边缘光线的垂轴像差大小相等方向相反的光线ρ：
03)1(4040
2040=-+-h
RW h RW ρρ （11） 解得：2
1
=
ρ
8. 试证明彗差图像的锥角为60度。
证明：彗差的表达式为：
)()cos(22013130131y x x x W x W W com a +==?θρ （1）
由波像差得到几何像差： )2)2(cos()3(20131220131+-=+-=???-=θρεx W h
R
y x x W h R x W h R x （2）
)2sin(2201310131θρεx W h
R
xy x W h R y W h R y -=-=???-
= （3）
联立等式（1）和（2）可以得到： 2201312220131)()()2(ρερεx W h
R
x W h R y x =++
（4） 显而易见，（4）式为一个圆的方程，圆的圆心和半径分别为：
Center ：)0,2(
20131ρx W h R
Radius ：2
0131ρx W h
R
随着ρ的变化，形成的彗差图形如下所示：
)sin(21
22
01312
0131θρρ==x W h
R x W h R
（5）
由（5）式可以求出：?=30θ，那么彗差图像的锥角为?=602θ。得证。 9. 计算像散的最小弥散圆直径与位置。
解：离焦z ε后，像散的公式为： )(2222
2
2
20
222y x R
h x x W W z ++
=?ε （1）
由（1）式可以得到：
)cos()2()2(2
022220222θρεεεR
h x W h R x R h x W h R x W h R z z x +-=+-=???-= （2）
)sin(θρεεεR
h
y R h y W h R z z y -=?-=???-
=
（3） 要想是的z ε处的弥散斑为圆形，则x ε和y ε可以构成圆的方程，则有： ρερεR
h R h x W h R z z =+-)2(2
0222 （4） 解得：
2
022222x W h
R z -=ε
弥散圆的半径为：
Radius=
ρ20222x W h
R
10. 推导子午焦线与弧矢焦线的间距公式。
解：对于弧矢焦线有：2
20222x
x W W =? （1）
对于子午焦线有：
)(2222
2
2
2
222y x R h x x W W z ++
=?ε （2）
x R
h x W h R x W h R z x )2(2
0222εε+-=???-
= （3）
y R
h
y W h R z y ?-=???-
=εε
（4） 当z ε取值使得0=x ε时，就得到子午焦线，此时的z ε也就是子午焦线和弧矢焦线的距离。
0)2(2
0222=+-=x R
h x W h R z x εε （5） 解得：
2
0222222x W h
R z -=ε
11.像散波面为何可以分别用柱面、椭球面、双曲面表示？
12.球差、彗差、像散的星点图像各有什么特点？
13.外差干涉术的基本原理是什么？试给出数学模型及并作出公式推导。简述虚光栅莫尔条纹法处理载频干涉图的原理，推导原理公式。试分析干涉图与莫尔条纹的异同。
1）外差干涉基本原理：
通过在干涉仪两臂中引入不同频率的光线来产生一个时间相位延迟，频率为w 和w w ?+的单色光叠加之后有：
虚光栅莫尔条纹处理载频干涉图原理： 待测干涉图光强：
参考干涉图光强：
莫尔条纹的光强表达式：
滤波之后的表达式：
可用四步移相法对干涉图进行处理，获得相位信息。
14.空间载频干涉条纹的FFT 法是提取单幅干涉图中所含波像差的方法，干涉图的光强表达式为[]),(2cos ),(),(),(y x fx y x b y x a y x i φπ-+=，其中),(y x i 、),(y x a 、
),(y x b 为干涉图光强、背景光强与调制度分布，f 为载频，),(y x φ为待测位相。
a) 简述该方法的原理，说明其主要步骤，并给出相应的公式推导。
干涉条纹的光强分布为：
[]),(2cos ),(),(),(y x fx y x b y x a y x i φπ-+=
其中),(y x i 、),(y x a 、),(y x b 为干涉图光强、背景光强与调制度分布，f 为载 频,),(y x φ为待测位相。
对上式做傅里叶变换得：
)()()0,0()(1*1f f C f f C A f I ++-+=
选择合适的滤波器，取出正一级谱或负一级谱，做逆傅里叶变换，即可得到：
)],(sin[),(2
1
)],(cos[),(21)),(exp(),(21),(y x y x b j y x y x b y x j y x b y x c φφφ-+-=-=
从而有：
)]
,(Re[)]
,(Im[),(1
y x c y x c tg y x --=φ
主要的流程为：
b) 载频f 的选取过程中，需要考虑哪些因素？为什么？给出相互关系的表达式。
（1）.条纹不能封闭
（2）.任何平行于x 轴的扫描线不能与条纹相交两次
[]),(2exp
),(),(),(y x kw x f j y x b y x a y x i x -+=π
[]0),(sin >?-?x
y x w x θ
max
),(sin ???
?????>x y x w θ （3）.采样定理-采样频率的要求 max 2f f s >
s f 为采样频率，max f 为信号的最大频率。
（4）.最佳载频的确定 每根条纹4个采样点
采样时应该注意的问题：采样定理，奈奎斯特（Nyquist ）频率,欠采样 与过采样。
15.试阐述夏克-哈特曼波前传感器的工作原理。
答：夏克-哈特曼波前传感器主要由微透镜阵列和CCD 组成，其中光波经过待测波透镜，经准直后的畸变波前入射到夏克-哈特曼波前传感器中的微阵列透镜聚焦在CCD 上，测量CCD 上的光斑坐标，通过泽尼克多项式拟合系数重建波前。
16.移相干涉技术中，移相方式有几种。试详细描述波长调谐移相法的原理与并讨论参数选择方法。
答：移相的方法有：
1.机械移相 （旋转平行平板 、双楔镜移动 、楔镜平移 ）
2.机电移相——PZT
3.波长调谐移相
4.光栅移相
5.偏振移相 （波片移相，光电晶体移相）
6.液晶移相法
波长调谐移相法原理：移相干涉是将随时间变化的相位变化引入干涉仪的参考波前和采样波前，波长调谐移相是通过可调谐的波长来引入相位的变化。检测一块表面高度误差为),(y x h 的反射面将产生的相位为：k y x h y x λπφ/),(4),(=，通过改变波长就可以改变位相。K 次移相后的相位差为：
λλπλπλλπ??-≈??+k h h k h 2000444，那么λλπ??k h
20
4就是通
过改变波长引入的相位改变量。
17.移相干涉仪的移相误差会导致波面测试结果中出现波纹。已知移相干涉图的光强表达式为：
[](,,)(,)(,)cos (,)i i i x y a x y b x y x y δφδ=++
a) 以四步法为例，当存在线性误差时，试推导位相测量误差的表达式。
解：四步法：当存在线性误差e 时，有
)
cos()
2sin(),(tan )3sin()2cos()sin(cos 3210e e y x e b a I e b a I e b a I b a I ++=
'++=+-=+-=+=φφφφφφφ
则：
e e e e e
e e e 2sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2cos cos sin )tan(2222φφφφφφφφφφφφφφ+--+-+=
-' 当0→e 时，有1cos ,0sin ≈≈e e 从而可得：
φφφφsos e e sin )cos 2(cos )tan(
-=-' 又因为：22
2
5.1)2
1()21(cos 2cos e e e e e -=---≈-
所以：φφφ2sin 75.0)tan(2e -=-' 即： φφ2sin 75.0),(2e y x -=?
b) 以Hariharan 法为例，当存在线性移相误差时，移相步长为δ=π/2+e ，其中e 为移
相误差，试证明位相测量误差为：
[]),(2sin 25.0),(2y x e y x φφ?-≈?
解：当090=α时
153421
153420
2)(2tan ),(290
sin 2),(tan I I I I I y x I I I I I y x ---=?---=-φφ 当e +=090α时
),(tan )2
1(tan 2cos 1cos 2),(tan 20
y x e e e y x e φφφ-??→?+='→
从而有：
φ
φ
φφφφφφ2
22sin 242sin tan tan 1tan tan )tan(e e --='+-'=-' 即：[]),(2sin
25.0),(2y x e y x φφ-≈?
c) 位相测试结果中所含波纹的变化频率为干涉条纹空间频率的2倍，试解释之。
解：经过傅里叶变换易得，频率为υ的振动产生的光强畸变
1?,1?+=-=υυυυ
等幅振动的两个频率分量组成。在所有的频率下，θ 有相
同的依赖关系。因此在小幅振动导致的可预测的误差，有着相同的周期行为，而不论噪声的性质如何，典型的，依赖相位的误差要么是某个固定的常数，要么数据显示：此波纹以两倍正常干涉条纹频率变化。
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